Problem 1537

З умови задачі випливає, що всі члени даної послідовності є цілими числами, причому $a_3 = 14 \cdot 9 - 1 - 4 = 121$. Доведемо індукцією за $n \ge 2$, що $a_{n-1}a_{n+1} = (a_n + 2)^2$. Справді, для $n = 2$ маємо: $a_1a_3 = 1 \cdot 121 = (9+2)^2 = (a_n + 2)^2$. Припустимо тепер, що $a_{n-1}a_{n+1} = (a_n + 2)^2$. Тоді
$$\begin{aligned} a_n a_{n+2} - (a_{n+1} + 2)^2 &= a_n (14a_{n+1} - a_n - 4) - (a_{n+1} + 2)^2 \\ &= 14a_n a_{n+1} - a_n^2 - 4a_n - a_{n+1}^2 - 4a_{n+1} - 4 \\ &= a_{n+1} (14a_n - a_{n+1} - 4) - (a_n + 2)^2 \\ &= a_{n-1} a_{n+1} - (a_n + 2)^2 = 0. \end{aligned}$$
За принципом математичної індукції, $a_{n-1}a_{n+1} = (a_n + 2)^2$ для всіх $n \ge 2$, тобто для всіх $n \ge 2$ добуток $a_{n-1}a_{n+1}$ є квадратом цілого числа. Якщо $a_{n-1}$ — квадрат цілого числа і $a_{n-1}a_{n+1}$ — квадрат цілого числа, то і $a_{n+1}$ — квадрат цілого числа. Оскільки $a_1 = 1$ і $a_2 = 9$ — квадрати цілих чисел, за індукцією одержуємо, що $a_n$ — квадрат цілого числа для кожного натурального $n$, що й треба було довести.