Problem 1310

Нехай $x = \frac{m}{n}$, $y = \frac{p}{q}$, де $m, n, p, q$ — натуральні числа, причому $(m; n) = (p; q) = 1$. Оскільки $x + y^{-1} = \frac{m}{n} + \frac{q}{p} = \frac{mp + nq}{np}$ має бути цілим, то $np \mid mp + nq$. Аналогічно, $y + x^{-1} = \frac{p}{q} + \frac{n}{m} = \frac{pm + nq}{qm}$ має бути цілим, тобто $qm \mid pm + nq$.

Оскільки $np \mid mp + nq$ і $qm \mid pm + nq$, а тому $p \mid n$ і $n \mid p$. Маємо, що $n = p$. Аналогічно доводиться, що $m = q$. Звідси тепер випливає, що $2m \mid n$ і $2n \mid m$. Отже, $m, n, p, q \in \{1; 2\}$. Тепер уже неважко одержати відповідь.