Track / Stage 3 / 99 of 260 #99 of 2000

Problem 99

AMC 10/12, early questions

Geometry Difficulty 3.3 Prove it Brazilian Mathematical Olympiad, Nível 2 · Brazil

Problem:
Considere um retângulo $ABCD$ onde os comprimentos dos lados são $\overline{AB}=4$ e $\overline{BC}=8$ . Sobre os lados $BC$ e $AD$ se fixam os pontos $M$ e $N$ , respectivamente, de modo que o quadrilátero $BMDN$ seja um losango. Calcule a área deste losango.

This one wants a proof. Work it on paper, read the official solution, then mark yourself honestly — the ladder only means something if the record is true.

Official solution

Solution:
Observe o seguinte desenho:

Como $BMDN$ é um losango, então os comprimentos dos segmentos $BM$ , $MD$ , $DN$ e $NB$ são iguais a um mesmo valor, digamos $x$ . Pelo dado do problema, $\overline{AD}=8$ , logo $\overline{AN}=8-x$ .

Podemos agora aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo $BAN$ :
$4^{2} + (8-x)^{2} = x^{2}$
Resolvendo a equação obtemos $x=5$ . Finalmente, a área do losango resulta $4 \times x = 4 \times 5 = 20$ .

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic, difficulty and ordering added by this site.