Problem 1798

Если $b = 1$, то $a = c = 1$, и в качестве другой тройки можно выбрать $(1, 25, 49)$. Если же $b \neq 1$, то из взаимной простоты разность прогрессии $d$ не может оказаться нулевой. Тогда без ограничения общности $d = b - a = c - b > 0$.

Поскольку $b$ взаимно просто как с $a$, так и с $c$, то оно взаимно просто как с $ac$. Далее, произведение взаимно простых чисел $ac$ и $b$ является квадратом, поэтому и каждое из них — также квадрат, то есть $b = f^2$, $ac = m^2 = (b-d)(b+d) = b^2 - d^2$ для некоторых натуральных $f$ и $m$. При этом $m \neq d$, так как в противном случае $b^2 = m^2 + d^2 = 2m^2$, что невозможно.

Рассмотрим теперь тройку $(b-m, b, b+m)$. Ее члены образуют арифметическую прогрессию, являются натуральными числами (так как $b^2 - m^2 = d^2 > 0$), и их произведение $(b-m)b(b+m) = f^2(b^2 - m^2) = (df)^2$ является квадратом. Кроме того, $\gcd(b, m^2) = \gcd(b, ac) = 1$, откуда $1 = \gcd(b, m) = \gcd(b, b-m) = \gcd(b, b+m)$. Значит, эта тройка — квадратная, она имеет общий элемент $b$ с исходной и отлична от нее (ибо $b-m \neq b-d$), что и требовалось.