10. Suppose there are at least four integers satisfying ∣ f ( x ) ∣ ⩽ 1 |f(x)| \leqslant 1 ∣ f ( x ) ∣ ⩽ 1 u , v , w , r u, v, w, r u , v , w , r u < v < w < r u<v<w<r u < v < w < r f ( x ) f(x) f ( x ) = f ( u ) ( x − v ) ( x − w ) ( x − r ) ( u − v ) ( u − w ) ( u − r ) + f ( v ) ( x − u ) ( x − w ) ( x − r ) ( v − u ) ( v − w ) ( v − r ) + f ( w ) ( x − r ) ( x − u ) ( x − v ) ( w − r ) ( w − u ) ( w − v ) + f ( r ) ( x − u ) ( x − v ) ( x − w ) ( r − u ) ( r − v ) ( r − w ) .
\begin{array}{c}
=f(u) \frac{(x-v)(x-w)(x-r)}{(u-v)(u-w)(u-r)}+ \\
f(v) \frac{(x-u)(x-w)(x-r)}{(v-u)(v-w)(v-r)}+ \\
f(w) \frac{(x-r)(x-u)(x-v)}{(w-r)(w-u)(w-v)}+ \\
f(r) \frac{(x-u)(x-v)(x-w)}{(r-u)(r-v)(r-w)} .
\end{array}
= f ( u ) ( u − v ) ( u − w ) ( u − r ) ( x − v ) ( x − w ) ( x − r ) + f ( v ) ( v − u ) ( v − w ) ( v − r ) ( x − u ) ( x − w ) ( x − r ) + f ( w ) ( w − r ) ( w − u ) ( w − v ) ( x − r ) ( x − u ) ( x − v ) + f ( r ) ( r − u ) ( r − v ) ( r − w ) ( x − u ) ( x − v ) ( x − w ) .
Thus, a = f ( u ) ( u − v ) ( u − w ) ( u − r ) + a=\frac{f(u)}{(u-v)(u-w)(u-r)}+ a = ( u − v ) ( u − w ) ( u − r ) f ( u ) + f ( v ) ( v − u ) ( v − w ) ( v − r ) + f ( w ) ( w − r ) ( w − u ) ( w − v ) + f ( r ) ( r − u ) ( r − v ) ( r − w ) ⇒ ∣ a ∣ ⩽ ∣ f ( u ) ( u − v ) ( u − w ) ( u − r ) ∣ + ∣ f ( v ) ( v − u ) ( v − w ) ( v − r ) ∣ + ∣ f ( w ) ( w − r ) ( w − u ) ( w − v ) ∣ + ∣ f ( r ) ( r − u ) ( r − v ) ( r − w ) ∣ ∣ 1 ( u − v ) ( u − w ) ( u − r ) ∣ + ∣ 1 ( v − u ) ( v − w ) ( v − r ) ∣ + ∣ 1 ( w − r ) ( w − u ) ( w − v ) ∣ + ∣ 1 ( r − u ) ( r − v ) ( r − w ) ∣ ⩽ 1 1 × 2 × 3 + 1 1 × 2 × 1 + 1 1 × 2 × 1 + 1 3 × 2 × 1 = 4 3 ,
\begin{array}{l}
\frac{f(v)}{(v-u)(v-w)(v-r)}+ \\
\frac{f(w)}{(w-r)(w-u)(w-v)}+ \\
\frac{f(r)}{(r-u)(r-v)(r-w)} \\
\Rightarrow|a| \leqslant\left|\frac{f(u)}{(u-v)(u-w)(u-r)}\right|+ \\
\left|\frac{f(v)}{(v-u)(v-w)(v-r)}\right|+ \\
\left|\frac{f(w)}{(w-r)(w-u)(w-v)}\right|+ \\
\begin{array}{l}
\left|\frac{f(r)}{(r-u)(r-v)(r-w)}\right| \\
\left|\frac{1}{(u-v)(u-w)(u-r)}\right|+
\end{array} \\
\left|\frac{1}{(v-u)(v-w)(v-r)}\right|+ \\
\left|\frac{1}{(w-r)(w-u)(w-v)}\right|+ \\
\left|\frac{1}{(r-u)(r-v)(r-w)}\right| \\
\leqslant \frac{1}{1 \times 2 \times 3}+\frac{1}{1 \times 2 \times 1}+ \\
\frac{1}{1 \times 2 \times 1}+\frac{1}{3 \times 2 \times 1} \\
=\frac{4}{3} \text {, } \\
\end{array}
( v − u ) ( v − w ) ( v − r ) f ( v ) + ( w − r ) ( w − u ) ( w − v ) f ( w ) + ( r − u ) ( r − v ) ( r − w ) f ( r ) ⇒ ∣ a ∣ ⩽ ( u − v ) ( u − w ) ( u − r ) f ( u ) + ( v − u ) ( v − w ) ( v − r ) f ( v ) + ( w − r ) ( w − u ) ( w − v ) f ( w ) + ( r − u ) ( r − v ) ( r − w ) f ( r ) ( u − v ) ( u − w ) ( u − r ) 1 + ( v − u ) ( v − w ) ( v − r ) 1 + ( w − r ) ( w − u ) ( w − v ) 1 + ( r − u ) ( r − v ) ( r − w ) 1 ⩽ 1 × 2 × 3 1 + 1 × 2 × 1 1 + 1 × 2 × 1 1 + 3 × 2 × 1 1 = 3 4 ,
which contradicts the given condition.x x x ∣ f ( x ) ∣ ⩽ 1 |f(x)| \leqslant 1 ∣ f ( x ) ∣ ⩽ 1