Solution.
Domain of definition: m > 0 m>0 m > 0
z 2 − 1 z 2 − 1 − z = z 2 − 1 ⋅ ( z 2 − 1 + z ) ( z 2 − 1 − z ) ( z 2 − 1 + z ) = z 2 − 1 ⋅ ( z 2 − 1 + z ) ( z 2 − 1 ) 2 − z 2 = = z 2 − 1 + z z 2 − 1 z 2 − 1 − z 2 = − ( z 2 + z z 2 − 1 − 1 ) = 1 − z 2 − z z 2 − 1 = = 1 − ( 1 2 ( m + 1 m ) ) 2 − 1 2 ( m + 1 m ) ( 1 2 ( m + 1 m ) ) 2 − 1 =
\begin{aligned}
& \frac{\sqrt{z^{2}-1}}{\sqrt{z^{2}-1}-z}=\frac{\sqrt{z^{2}-1} \cdot\left(\sqrt{z^{2}-1}+z\right)}{\left(\sqrt{z^{2}-1}-z\right)\left(\sqrt{z^{2}-1}+z\right)}=\frac{\sqrt{z^{2}-1} \cdot\left(\sqrt{z^{2}-1}+z\right)}{\left(\sqrt{z^{2}-1}\right)^{2}-z^{2}}= \\
& =\frac{z^{2}-1+z \sqrt{z^{2}-1}}{z^{2}-1-z^{2}}=-\left(z^{2}+z \sqrt{z^{2}-1}-1\right)=1-z^{2}-z \sqrt{z^{2}-1}= \\
& =1-\left(\frac{1}{2}\left(\sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m}}\right)\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(\sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m}}\right) \sqrt{\left(\frac{1}{2}\left(\sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m}}\right)\right)^{2}-1}=
\end{aligned}
z 2 − 1 − z z 2 − 1 = ( z 2 − 1 − z ) ( z 2 − 1 + z ) z 2 − 1 ⋅ ( z 2 − 1 + z ) = ( z 2 − 1 ) 2 − z 2 z 2 − 1 ⋅ ( z 2 − 1 + z ) = = z 2 − 1 − z 2 z 2 − 1 + z z 2 − 1 = − ( z 2 + z z 2 − 1 − 1 ) = 1 − z 2 − z z 2 − 1 = = 1 − ( 2 1 ( m + m 1 ) ) 2 − 2 1 ( m + m 1 ) ( 2 1 ( m + m 1 ) ) 2 − 1 =
= 1 − ( m + 1 2 m ) 2 − m + 1 2 m ⋅ ( m + 1 2 m ) 2 − 1 = = 1 − m 2 + 2 m + 1 4 m − m + 1 2 m ⋅ m 2 + 2 m + 1 4 m − 1 = = 4 m − m 2 − 2 m − 1 4 m − m + 1 2 m ⋅ m 2 + 2 m + 1 − 4 m 4 m = = − ( m 2 − 2 m + 1 ) 4 m − m + 1 2 m m 2 − 2 m + 1 4 m = − ( m − 1 ) 2 4 m − m + 1 2 m ( m − 1 2 m ) 2 = = − ( m − 1 ) 2 4 m − m + 1 2 m ⋅ ∣ m − 1 ∣ 2 m = − ( m − 1 ) 2 4 m − ( m + 1 ) ⋅ ∣ m − 1 ∣ 4 m = = − ( m − 1 ) 2 − ( m + 1 ) ⋅ ∣ m − 1 ∣ 4 m = = { − ( m − 1 ) 2 + ( m + 1 ) ( m − 1 ) 4 m = − ( m − 1 ) 2 + m 2 − 1 4 m = m − 1 2 m , if m − 1 < 0 , − ( m − 1 ) 2 − ( m + 1 ) ( m − 1 ) 4 m = − ( m − 1 ) 2 − ( m 2 − 1 ) 4 m = 1 − m 2 , if m ≥ 1.
\begin{aligned}
& =1-\left(\frac{m+1}{2 \sqrt{m}}\right)^{2}-\frac{m+1}{2 \sqrt{m}} \cdot \sqrt{\left(\frac{m+1}{2 \sqrt{m}}\right)^{2}-1}= \\
& =1-\frac{m^{2}+2 m+1}{4 m}-\frac{m+1}{2 \sqrt{m}} \cdot \sqrt{\frac{m^{2}+2 m+1}{4 m}-1}= \\
& =\frac{4 m-m^{2}-2 m-1}{4 m}-\frac{m+1}{2 \sqrt{m}} \cdot \sqrt{\frac{m^{2}+2 m+1-4 m}{4 m}}= \\
& =\frac{-\left(m^{2}-2 m+1\right)}{4 m}-\frac{m+1}{2 \sqrt{m}} \sqrt{\frac{m^{2}-2 m+1}{4 m}}=-\frac{(m-1)^{2}}{4 m}-\frac{m+1}{2 \sqrt{m}} \sqrt{\left(\frac{m-1}{2 \sqrt{m}}\right)^{2}}= \\
& =-\frac{(m-1)^{2}}{4 m}-\frac{m+1}{2 \sqrt{m}} \cdot \frac{|m-1|}{2 \sqrt{m}}=-\frac{(m-1)^{2}}{4 m}-\frac{(m+1) \cdot|m-1|}{4 m}= \\
& =\frac{-(m-1)^{2}-(m+1) \cdot|m-1|}{4 m}= \\
& =\left\{\begin{array}{c}
\frac{-(m-1)^{2}+(m+1)(m-1)}{4 m}=\frac{-(m-1)^{2}+m^{2}-1}{4 m}=\frac{m-1}{2 m}, \text { if } m-1<0, \\
\frac{-(m-1)^{2}-(m+1)(m-1)}{4 m}=\frac{-(m-1)^{2}-\left(m^{2}-1\right)}{4 m}=\frac{1-m}{2}, \text { if } m \geq 1 .
\end{array}\right.
\end{aligned}
= 1 − ( 2 m m + 1 ) 2 − 2 m m + 1 ⋅ ( 2 m m + 1 ) 2 − 1 = = 1 − 4 m m 2 + 2 m + 1 − 2 m m + 1 ⋅ 4 m m 2 + 2 m + 1 − 1 = = 4 m 4 m − m 2 − 2 m − 1 − 2 m m + 1 ⋅ 4 m m 2 + 2 m + 1 − 4 m = = 4 m − ( m 2 − 2 m + 1 ) − 2 m m + 1 4 m m 2 − 2 m + 1 = − 4 m ( m − 1 ) 2 − 2 m m + 1 ( 2 m m − 1 ) 2 = = − 4 m ( m − 1 ) 2 − 2 m m + 1 ⋅ 2 m ∣ m − 1∣ = − 4 m ( m − 1 ) 2 − 4 m ( m + 1 ) ⋅ ∣ m − 1∣ = = 4 m − ( m − 1 ) 2 − ( m + 1 ) ⋅ ∣ m − 1∣ = = { 4 m − ( m − 1 ) 2 + ( m + 1 ) ( m − 1 ) = 4 m − ( m − 1 ) 2 + m 2 − 1 = 2 m m − 1 , if m − 1 < 0 , 4 m − ( m − 1 ) 2 − ( m + 1 ) ( m − 1 ) = 4 m − ( m − 1 ) 2 − ( m 2 − 1 ) = 2 1 − m , if m ≥ 1.
Answer: m − 1 2 m \frac{m-1}{2 m} 2 m m − 1 m ∈ ( 0 ; 1 ) ; 1 − m 2 m \in(0 ; 1) ; \frac{1-m}{2} m ∈ ( 0 ; 1 ) ; 2 1 − m m ∈ [ 1 ; ∞ ) m \in[1 ; \infty) m ∈ [ 1 ; ∞ )