Ответ. Не могут.

Пусть $I_A, I_B, I_C, I_D$ — центры вписанных окружностей треугольников $BCD, ACD, ABD, ABC$ соответственно. Предположим, что они лежат в одной плоскости. Тогда либо они образуют выпуклый четырёхугольник, либо одна из этих точек лежит в треугольнике, образованном тремя другими.

Случай 1. Пусть без ограничения общности $I_A I_B I_C I_D$ — выпуклый четырёхугольник: тогда отрезки $I_A I_C$ и $I_B I_D$ пересекаются. Обозначим через $M, N, K, L$ середины рёбер $AB, AD, CD, BC$ соответственно (см. рис. 24).

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведём через точку $B$ прямую $\ell$, параллельную $AC$; тогда вписанная окружность этого треугольника лежит между прямыми $\ell$ и $AC$, касаясь $AC$, но не касаясь $\ell$. Это значит, что точки $I_D$ и $B$ лежат по разные стороны от средней линии $ML$ (см. рис. 25).

Аналогично получаем, что точки $I_B$ и $I_D$ окажутся по одну сторону от плоскости $MNKL$, а точки $I_A$ и $I_C$ — по другую. Но тогда отрезки $I_B I_D$ и $I_A I_C$ не могут пересекаться — противоречие.

Случай 2. Осталось показать, что точка $I_A$ не может лежать в треугольнике $I_B I_C I_D$. Это следует из того, что точки $I_B, I_C, I_D$ лежат строго по одну сторону от плоскости $BCD$, а точка $I_A$ — в этой плоскости.