Solution:
Soit $f$ une solution. Avec $m=n=1$, on obtient $f(1) \mid 1$ et donc $f(1)=1$. Posons à présent $n=1$. On obtient
$$f(m)+1 \mid m+1$$
Il serait intéressant de rendre le côté droit premier. Posons donc $m=p-1$ pour $p$ un nombre premier. On a donc $f(p-1)+1 \mid p$ et comme $f(p-1)+1>1$, forcément $f(p-1)+1=p$ et donc $f(p-1)=p-1$ pour tous les nombres premiers $p$.
Posons à présent $n=p-1$, on a $f(m)+p-1 \mid m+p-1$ et donc
$$f(m)+p-1 \mid m-f(m)$$
Dans cette dernière relation, on fixe $m$ et on laisse $p$ tendre vers l'infini. On obtient ainsi des diviseurs arbitrairement grands pour $m-f(m)$. Forcément $f(m)=m$.
On vérifie facilement que l'identité est une solution.

Solution:
Comme dans la première solution, on montre que $f(1)=1$. On procède à présent par induction. Supposons que $f(m)=m$ pour tout $m \geq m_{0}$. On va montrer que $f\left(m_{0}+1\right)=m_{0}+1$.
Soit $m=m_{0}+1$ et $n=m_{0}$. On a
$$f\left(m_{0}+1\right)+m_{0} \mid 2 m_{0}+1$$
On observe que $f\left(m_{0}+1\right)+m_{0} \geq 1+m_{0}>\left(2 m_{0}+1\right) / 2$. Donc $f\left(m_{0}+1\right)+m_{0}$ est un diviseur de $2 m_{0}+1$ et il est strictement plus grand que la moitié de $2 m_{0}+1$ (qui est potentiellement le plus grand diviseur de $2 m_{0}+1$ différent de $2 m_{0}+1$). Forcément $f\left(m_{0}+1\right)+m_{0}=2 m_{0}+1$ et ainsi $f\left(m_{0}+1\right)=m_{0}+1$.
Comme avant, on vérifie que l'identité est bien une solution.

Solution:
On procède également par induction. Avec $m=n$, on obtient $f(m) \mid m$ et donc $f(m) \leq m$. Supposons que $f(m)=m$ pour tout $m \leq m_{0}-1$. Supposons par l'absurde que $f\left(m_{0}\right)<m_{0}$, donc on peut poser $n=m_{0}-f\left(m_{0}\right) \geq 1$ dans la relation de départ. Comme $m_{0}-f\left(m_{0}\right) \leq m_{0}-1$, par hypothèse on a $f\left(m_{0}-f\left(m_{0}\right)\right)=m_{0}-f\left(m_{0}\right)$. Avec $m=m_{0}$ et $n=m_{0}-f\left(m_{0}\right)$, on a
$$f\left(m_{0}\right)+m_{0}-f\left(m_{0}\right) \mid 2 m_{0}-f\left(m_{0}\right)$$
et donc $m_{0} \mid f\left(m_{0}\right)$. Contradiction. Ainsi $f\left(m_{0}\right)=m_{0}$ et on vérifie que l'identité est bien une solution.