Russia — Final Round

Можно считать, что $q \ge 1$. Пусть радиус $\omega_i$ равен $R_i = Rq^i$.
Выберем некоторое положительное $\ell$ и попытаемся построить требуемую ломаную с отрезками длины $\ell$, стартуя с произвольной точки $A_0 \in \omega_0$. Пусть точка $A_i \in \omega_i$ уже построена. Расстояния от неё до точек окружности $\omega_{i+1}$ пробегают отрезок $[R_{i+1} - R_i, R_{i+1} + R_i]$, то есть $[Rq^i(q-1), Rq^i(q+1)]$. Точку $A_{i+1}$ можно построить тогда и только тогда, когда $\ell$ принадлежит этому отрезку. Значит, ломаную удастся построить тогда и только тогда, когда $Rq^i(q-1) \le \ell \le Rq^i(q+1)$ при всех $i=0,1,2,3$.
Поскольку $q \ge 1$, эта система неравенств равносильна неравенствам $Rq^3(q-1) \le \ell \le R(q+1)$. Длина $\ell$, удовлетворяющая им, существует тогда и только тогда, когда $q^3(q-1) \le q+1$,
то есть $q^4 - q^3 - q - 1 \le 0$, или $(q^2 - q - 1)(q^2 + 1) \le 0$. Наибольшее типичное $q$, удовлетворяющее этому неравенству, есть $q = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.