24 students attend a mathematical circle. For any team consisting of 6 students, the teacher considers it to be either good or OK. For the tournament of mathematical battles, the teacher wants to partition all the students into 4 teams of 6 students each. May it happen that every such partition contains either exactly three good teams or exactly one good team, and both options are present? (I. Bogdanov)
Russia — Final Round
Solution
Приведём один из возможных примеров. Выделим трёх школьников. Будем называть сыгранными команды, в которых содержится 1 или 3 выделенных школьника, а остальные — несыгранными.
Выделенные школьники могут либо оказаться в трёх разных командах, или тогда мы получим три сыгранные команды и одну несыгранную, либо оказаться все в одной команде, и мы получим одну сыгранную и три несыгранные, либо двое могут оказаться в одной команде и один в другой, в этом случае мы также получаем одну сыгранную и три несыгранные команды. Таким образом, все условия соблюдаются.
Замечание. Также подходят все примеры, когда выделено нечётное количество школьников, большее 1 и меньше 23, и все команды, в которых присутствует нечётное количество выделенных школьников, объявляются сыгранными, а все остальные — несыгранными.
Want a route through all this instead of an archive? The track
puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.