24 students attend a mathematical circle. For any team consisting of 6 students, the teacher considers it to be either good or OK. For the tournament of mathematical battles, the teacher wants to partition all the students into 4 teams of 6 students each. May it happen that every such partition contains either exactly three good teams or exactly one good team, and both options are present? (I. Bogdanov)
Solution
Приведём один из возможных примеров. Выделим трёх школьников. Будем называть сыгранными команды, в которых содержится 1 или 3 выделенных школьника, а остальные — несыгранными.
Выделенные школьники могут либо оказаться в трёх разных командах, или тогда мы получим три сыгранные команды и одну несыгранную, либо оказаться все в одной команде, и мы получим одну сыгранную и три несыгранные, либо двое могут оказаться в одной команде и один в другой, в этом случае мы также получаем одну сыгранную и три несыгранные команды. Таким образом, все условия соблюдаются.
Замечание. Также подходят все примеры, когда выделено нечётное количество школьников, большее 1 и меньше 23, и все команды, в которых присутствует нечётное количество выделенных школьников, объявляются сыгранными, а все остальные — несыгранными.
Want a route through all this instead of an archive? The track
puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.