Ignoramus arranged 11 positive integers in a circle. For each two adjacent numbers, he calculated their (nonnegative) difference. Among the 11 results obtained, there are 4 ones, 4 twos, and 3 threes. Prove that Ignoramus made a mistake in his calculations.
Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждого двух соседних чисел он посчитал их разность. В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку. (Р. Женодаров)
Solution
Запишем каждую из наших разностей со знаком плюс, если в соответствующей паре чисел большее стоит перед меньшим по часовой стрелке, и со знаком минус в противном случае. У нас получились 11 разностей между числом и следующим за ним по часовой стрелке; значит, сумма всех этих чисел равна нулю, то есть чётному числу. Это невозможно, поскольку среди них ровно семь нечётных чисел -- четыре числа вида ±1 и три числа вида ±3.
Want a route through all this instead of an archive? The track
puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.
Source: MathNet,
licensed CC-BY-4.0.
Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.