Competition problem — Algebra — Maths Olympiad Prep

Library / /9 of 44

Algebra Difficulty 5.2 AIME, harder Prove it Russia

Given three quadratic polynomials $f_1(x) = x^2 + 2a_1x + b_1$ , $f_2(x) = x^2 + 2a_2x + b_2$ , $f_3(x) = x^2 + 2a_3x + b_3$ such that $a_1a_2a_3 = b_1b_2b_3 > 1$ . Prove that one of these polynomials has two distinct real roots.

Даны квадратные трёхчлены $f_1(x) = x^2 + 2a_1x + b_1$ , $f_2(x) = x^2 + 2a_2x + b_2$ , $f_3(x) = x^2 + 2a_3x + b_3$ . Известно, что $a_1a_2a_3 = b_1b_2b_3 > 1$ . Докажите, что хотя бы один из этих трёхчленов имеет два корня. (Н. Агаханов)

Solution

Предположим противное; тогда дискриминанты всех трёхчленов неположительны, то есть $a_k^2 \le b_k$ $(k = 1, 2, 3)$ . Левые (а значит, и правые) части этих неравенств неотрицательны, поэтому их можно перемножить, получая $(a_1a_2a_3)^2 \le b_1b_2b_3$ , то есть $N^2 \le N$ , где $N = a_1a_2a_3$ . Но это противоречит неравенству $N > 1$ .

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.