On a 8×8 chessboard, a closed broken line is drawn; its vertices are the centers of the cells, and each segment connects the centers of two cells sharing a common point (in particular, they may share a common side). This broken line bounds a polygon P. Prove that the total area of white parts of P equals the total area of black parts of P. (D. Khramtsov)
Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченном ею многоугольнике общая площадь чёрных частей равна общей площади белых частей. (Д. Храмцов)
Solution
Проведём пунктиром вертикальные и горизонтальные линии через центры клеток доски. На получившейся пунктирной сетке каждое звено нашей ломаной соединяет узлы, соседние по вертикали, горизонтали или диагонали. Поэтому пунктирные прямые разбивают область, ограниченную ломаной, на единичные квадратики и половинки квадратиков, получаемые разрезанием их по диагонали.
Осталось заметить, что в каждом таком квадратике и в каждом таком треугольнике площади чёрной и белой частей равны.
Want a route through all this instead of an archive? The track
puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.
Source: MathNet,
licensed CC-BY-4.0.
Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.
