Ответ. Не могут.

Предположим, что нашлись 18 хороших чисел подряд. Среди них найдутся три числа, делящихся на $6$. Пусть это числа $6n$, $6(n+1)$ и $6(n+2)$. Поскольку эти числа — хорошие, и в разложение каждого из них на простые множители входят двойка и тройка, других простых делителей у них быть не может.

Далее, лишь одно из трёх подряд идущих натуральных чисел $n$, $n+1$, $n+2$ может делиться на $3$. Значит, остальные два являются степенями двойки. Но пары степеней двойки, отличающихся не более чем на два — это только $(1,2)$ и $(2,4)$; поэтому $n \le 2$. Однако тогда среди наших 18 чисел есть простое число $13$ (так как $6n \le 13 \le 6(n+2)$), не являющееся хорошим. Противоречие.