Competition problem — Number theory

Library / /26 of 44

Number theory Difficulty 6.2 National olympiad Prove it Russia

For a positive integer $n$ , denote by $S_n$ the sum of the $n$ least primes: $S_1 = 2$ , $S_2 = 2+3=5$ , $S_3 = 2+3+5=10$ , and so on. Determine whether two consecutive terms of the sequence $S_1, S_2, S_3, \ldots$ can be perfect squares. (V. Sharich)

Для каждого натурального $n$ обозначим через $S_n$ сумму первых $n$ простых чисел: $S_1 = 2$ , $S_2 = 2+3 = 5$ , $S_3 = 2+3+5 = 10$ , .... Могут ли два подряд идущих члена последовательности ( $S_n$ ) оказаться квадратами натуральных чисел? (В. Шарич)

Solution

Ответ. Не могут.

Обозначим $n$ -е простое число через $p_n$ . Предположим, что нашлось $m > 1$ , для которого $S_{m-1} = k^2$ , $S_m = l^2$ , где $k$ и $l$ — натуральные числа. Числа $S_2 = 5$ , $S_3 = 10$ квадратами не являются, так что $m > 4$ . Заметим, что $p_m = S_m - S_{m-1} = (l-k)(l+k)$ ; ввиду простоты $p_m$ получаем $1 = l-k$ , $p_m = l+k = 2l-1 = 2\sqrt{S_m} - 1$ . Таким образом, $S_m = \left(\frac{p_m+1}{2}\right)^2$ .

Заметим, что $p_m$ нечётно (так как $m \ge 2$ ), и $1+3+5+\ldots + p_m = (1^2 - 0^2) + (2^2 - 1^2) + \ldots + \left(\left(\frac{p_m+1}{2}\right)^2 - \left(\frac{p_m-1}{2}\right)^2\right) = \left(\frac{p_m+1}{2}\right)^2$ . С другой стороны, в сумму $S_m = 2+p_2+\ldots+p_m$ , кроме двойки, входят лишь нечётные числа, и при $m > 4$ не входят нечётное составное число $9$ и число $1$ , поэтому $S_m \le (1+3+5+\ldots+p_m)+2-1-9 < \left(\frac{p_m+1}{2}\right)^2$ . Противоречие.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.