Разобьём доску на $9$ квадратов $30 \times 30$, $6$ прямоугольников $10 \times 30$ и один квадрат $10 \times 10$ (см. рис. 10).

В каждом квадрате $30 \times 30$ клетки разбиваются на $15^2$ четвёрок так, что расстояние между любыми клетками в одной четвёрке равно $15$ (каждая четвёрка состоит из клеток с координатами $(a, b)$, $(a, b+15)$, $(a+15, b)$ и $(a+15, b+15)$). Тогда в любой четвёрке может быть отмечено не более одной клетки, то есть общее число отмеченных клеток в таком квадрате не превосходит $15^2$.

Аналогично, каждый прямоугольник $10 \times 30$ (скажем, с длинной горизонтальной стороной) разбивается на пары клеток, отстоящих друг от друга на $15$ (с координатами $(a, b)$ и $(a + 15, b)$) — поэтому в нём не более $15 \cdot 10$ отмеченных клеток.

Наконец, в квадрате $10 \times 10$ всего $10^2$ клеток. Итого, отмеченных клеток не больше, чем $9 \cdot 15^2 + 6 \cdot 15 \cdot 10 + 10^2 = (3 \cdot 15 + 10)^2 = 55^2$.

Пример с таким количеством отмеченных клеток показан на рис. 11.

Рис. 10

Рис. 11