Case 1. $a \ge 0$.
Clearly $c \ge 0$ where $c=0$ implies $b=0$. We get that $(a,0,0)$ is a solution for an arbitrary non-negative integer $a$. From the equality $3^{2a+1}b^2+1=2^c$ it follows that $b$ is an odd integer. We can write the left-hand side in the following form
$$3^{2a+1} b^2 + 1 = (3^{2a+1} + 1)b^2 - (b-1)(b+1).$$
For the right-hand side of the last equality we notice that $(b-1)(b+1)$ is divisible by 8, while $(3^{2a+1}+1)b^2$ is divisible by 4 but not by 8. Therefore $2^c=4$ i.e. $c=2$. But then $3^{2a+1}b^2=3$, so that $a=0$ and $b=\pm 1$.

Case 2. $a < 0$.
Again $c \ge 0$ where $c=0$ implies $b=0$ and then $a$ can be an arbitrary negative integer. Therefore we restrict ourselves to the case $c > 0$. It is enough to consider the case $b > 0$. Putting $d=-a$, the Diophantine equation from the statement of the exercise gets the form
$$(2^c - 1)3^{2d-1} = b^2.$$
where $b, c$ and $d$ are natural numbers. Therefore $b$ is divisible by 3, and hence $c$ is an even number. Hence we have $b = 3^d x$, $c = 2y$ for some natural numbers $x$ and $y$. The Diophantine equation gets the form
$$4^{y-1} + 4^{y-2} + \dots + 1 = x^2.$$
This implies $x=y=1$. Namely, for $y \ge 2$ we would get that $x^2 \equiv 5 \pmod 8$, which is impossible. Therefore in this case the only solutions are $(a,3^{-a},2)$, where $a$ is an arbitrary negative integer.

The set $M$ of all solutions to the Diophantine equation from the statement of the exercise is:
$$M = \{(a,0,0) \mid a \in \mathbb{Z}\} \cup \{(a, \pm 3^{-a},2) \mid a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\}.$$

Случај 1. $a \ge 0$.
Јасно $c \ge 0$ при што $c=0$ повлекува $b=0$. Добиваме дека $(a,0,0)$ за произволен ненегативен цел број $a$. Од равенството $3^{2a+1}b^2 + 1 = 2^c$ следува дека $b$ е непарен цел број. Левата страна можеме да ја запишеме во следниов облик
$$3^{2a+1}b^2 + 1 = (3^{2a+1}+1)b^2 - (b-1)(b+1).$$
За десната страна од последниот израз да забележиме дека $(b-1)(b+1)$ е делив со 8, додека $(3^{2a+1}+1)b^2$ е делив со 4 но не со 8. Затоа $2^c = 4$ т.е. $c=2$. Но тогаш $3^{2a+1}b^2 = 3$, па $a=0$ и $b=\pm1$.

Случај 2. $a < 0$.
Повторно $c \ge 0$ при што $c = 0$ повлекува $b=0$ и тогаш $a$ може да е произволен негативен цел број. Затоа да се ограничиме на случајот $c > 0$. Доволно е да го разгледаме случајот $b > 0$. Ставајќи $d = -a$, диофантова равенка од условот на задачата добива облик
$$(2^c - 1)3^{2d-1} = b^2,$$
при што $b, c$ и $d$ се природни броеви. Значи $b$ е делив со 3, од што следува дека $c$ е парен број. Така $b=3^d x, c=2y$, за некои природни броеви $x$ и $y$. Диофантовата равенка се сведува до облик
$$4^{y-1} + 4^{y-2} + \dots + 1 = x^2.$$
Ова повлекува $x=y=1$. Имено, за $y \ge 2$ би добиле дека $x^2 \equiv 5 \pmod 8$, што не е можно. Значи во овој случај единствените решенија се $(a, 3^{-a}, 2)$, каде $a$ е произволен негативен цел број.

Множеството $M$ од сите решенија на диофантовата равенка од условот на задачата може да се опише на следниов начин:
$$M = \{(a,0,0) \mid a \in \mathbb{Z}\} \cup \{(a, \pm 3^{-a}, 2) \mid a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\}.$$

Решение:
Случај 1. $a \ge 0$.
Јасно $c \ge 0$ при што $c=0$ повлекува $b=0$. Добиваме дека $(a,0,0)$ за произволен ненегативен цел број $a$. Од равенството $3^{2a+1}b^2 + 1 = 2^c$ следува дека $b$ е непарен цел број. Левата страна можеме да ја запишеме во следниов облик
$$3^{2a+1}b^2 + 1 = (3^{2a+1}+1)b^2 - (b-1)(b+1).$$
За десната страна од последниот израз да забележиме дека $(b-1)(b+1)$ е делив со $8$, додека $(3^{2a+1}+1)b^2$ е делив со $4$ но не со $8$. Затоа $2^c = 4$ т.е. $c=2$. Но тогаш $3^{2a+1}b^2 = 3$, па $a=0$ и $b=\pm1$.

Случај 2. $a < 0$.
Повторно $c \ge 0$ при што $c=0$ повлекува $b=0$ и тогаш $a$ може да е произволен негативен цел број. Затоа да се ограничиме на случајот $c > 0$. Доволно е да го разгледаме случајот $b > 0$. Ставајќи $d = -a$, диофантова равенка од условот на задачата добива облик
$$(2^c - 1)3^{2d-1} = b^2,$$
при што $b, c$ и $d$ се природни броеви. Значи $b$ е делив со $3$, од што следува дека $c$ е парен број. Така $b = 3^d x, c = 2y$, за некои природни броеви $x$ и $y$. Диофантовата равенка се сведува до облик
$$4^{y-1} + 4^{y-2} + \dots + 1 = x^2.$$
Ова повлекува $x = y = 1$. Имено, за $y \ge 2$ би добиле дека $x^2 \equiv 5 \pmod 8$, што не е можно. Значи во овој случај единствените решенија се $(a, 3^{-a}, 2)$, каде $a$ е произволен негативен цел број.

Множеството $M$ од сите решенија на диофантовата равенка од условот на задачата може да се опише на следниов начин:
$$M = \{(a,0,0) \mid a \in \mathbb{Z}\} \cup \{(a, \pm 3^{-a}, 2) \mid a \in \mathbb{Z} \cup \{0\}\}.$$