Відповідь: ні, барон помиляється. Позначимо $2006$ точок поділу числами $0, 1, 2, \ldots, 2005$, записаними послідовно. Ланки ламаної будемо позначати номерами її кінців. Нескладно перевірити, що якщо $i + j = k + l$ (mod $2006$), то ланки $i j$ та $k l$ будуть паралельними. Припустимо, що барон Мюнхгаузен правий. Тоді існує така перестановка $n_1, n_2, \ldots, n_{2006}$ чисел $0, 1, 2, \ldots, 2005$, що всі суми $n_1 + n_2, n_2 + n_3, \ldots, n_{2005} + n_{2006}, n_{2006} + n_1$ попарно неконгруентні за mod $2006$. Тоді цей набір також є деякою перестановкою чисел $0, 1, 2, \ldots, 2005$. Таким чином,
$$(n_1 + n_2) + (n_2 + n_3) + \dots + (n_{2006} + n_1) \equiv 0 + 1 + \dots + 2005 \equiv 1003 \pmod{2006}$$
Але, з іншого боку,
$$2n_1 + 2n_2 + 2n_3 + \dots + 2n_{2006} \equiv 2(0 + 1 + 2 + \dots + 2005) \equiv 0 \pmod{2006}.$$
Одержана суперечність і доводить, що барон Мюнхгаузен помиляється.