Library / Ukrainian Mathematical Olympiad /40 of 49

Ukrainian Mathematical Olympiad

Geometry Difficulty 6.4 National Olympiad Prove it Ukraine

Let a point $A$ lay outside a given circle $\omega$ . Through $A$ two lines are drawn, the first intersect $\omega$ at $B$ and $C$ , the second, at $D$ and $E$ ( $D$ is between $A$ and $E$ ). The line going through $D$ and parallel to $BC$ intersects $\omega$ at $F \neq D$ , and the line $AF$ intersects $\omega$ at $T \neq F$ . Let $BC$ and $ET$ intersect at $M$ , $N$ be symmetric to $A$ with respect to $M$ , and $K$ be the midpoint of $BC$ . Prove that the points $D$ , $E$ , $K$ , $N$ are cyclic.

Solution

Оскільки $DF \parallel BC$ , то $\angle DFA = \angle CAF$ . До того ж, $\angle DFA = \angle DFT = \angle DET$ як вписані, що спираються на одну дугу. Отже, $\triangle AMT \sim \triangle EMA$ за двома кутами, звідки $\frac{AM}{MT} = \frac{EM}{AM}$ , тобто $AM^2 = EM \cdot MT$ . За властивістю січних, $ME \cdot MT = MB \cdot MC$ . Тому
$AM^2 = MB \cdot MC = (AB - AM) \cdot (AC - AM) = AB \cdot AC - AM \cdot (AB + AC) + AM^2.$
Звідси $AB \cdot AC = AM \cdot (AB + AC)$ . Оскільки $K$ — середина $BC$ , то $AB + AC = 2AK$ . За властивістю січних маємо $AB \cdot AC = AD \cdot AE$ . Отже, $AD \cdot AE = AM \cdot 2AK$ . Оскільки $M$ — середина $AN$ , то останню рівність можна записати у вигляді $AD \cdot AE = AN \cdot AK$ . Тому точки $D, E, K$ і $N$ лежать на одному колі.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.