Ответ. $75$.

Пусть $m$ — наибольший делитель числа $N$, меньший, чем $N$. Тогда $N = m p$, где $p$ — наименьший простой делитель числа $N$. Имеем $N + m = 10^k$, то есть $m(p + 1) = 10^k$. Число в правой части не делится на $3$, поэтому $p > 2$. Отсюда следует, что $N$ — нечётное число, а тогда и $m$ нечётно. Значит, поскольку $10^k$ делится на $m$, получаем $m = 5^s$.

Если $m = 1$, то $N = p = 10^k - 1$, что невозможно, так как $10^k - 1$ делится на $9$, то есть не является простым. Значит, $s \ge 1$, число $N$ делится на $5$, и потому $p \le 5$.

Если $p = 3$, то получаем равенство $4 \cdot 5^s = 10^k$, откуда $k = 2$, $m = 25$ и $N = 75$.

Если же $p = 5$, то $p+1 = 6$, и число $10^k$ делится на $3$, что невозможно.