Число $N$ может равняться $14$, как показывает, например, четвёрка чисел $4$, $15$, $70$, $84$. Осталось показать, что $N \ge 14$.

Лемма. Среди попарных НОД четырёх чисел не может быть ровно двух чисел, делящихся на некоторое натуральное $k$.
Доказательство. Если среди исходных четырёх чисел есть не больше двух чисел, делящихся на $k$, то среди попарных НОД на $k$ делится не более одного. Если же три из исходных чисел делятся на $k$, то все три их попарных НОД делятся на $k$. Лемма доказана. $\square$

Применяя лемму к $k = 2$, получаем, что число $N$ чётно. Применяя её же к $k = 3$, $k = 4$ и $k = 5$, получаем, что $N$ не делится на $3$, $4$ и $5$. Значит, $N$ не может равняться $6$, $8$, $10$ и $12$.