Competition problem — Algebra — Maths Olympiad Prep

Library / /21 of 57

Algebra Difficulty 6.4 National olympiad Prove it Russia

Consider two cubic polynomials $F(x) = x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3$ and $G(x) = x^3 + b_1x^2 + b_2x + b_3$ with unit leading coefficients. All real roots of the equations $F(x) = 0$ , $G(x) = 0$ , and $F(x) = G(x)$ are written. It appears that eight distinct numbers are written. Prove that at least one of the minimal and the maximal among the written numbers is not a root of $F(x)$ .

(I. Bogdanov)

Даны два различных кубических многочлена $F(x)$ и $G(x)$ с единичными старшими коэффициентами. Выписали все корни уравнений $F(x) = 0$ , $G(x) = 0$ , $F(x) = G(x)$ . Оказалось, что выписаны 8 различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена $F(x)$ .

(И. Богданов)

Solution

Заметим, что у многочленов $F(x)$ и $G(x)$ не более, чем по три корня, а у многочлена $F(x) - G(x)$ (имеющего степень, не превосходящую 2) не больше двух корней. Поскольку у них в совокупности 8 корней, то у $F(x)$ и $G(x)$ ровно по три корня, а у $F(x) - G(x)$ ровно два, причём все они имеют кратность 1.

Предположим, что утверждение задачи неверно; пусть $a$ и $b$ — минимальное и максимальное из выписанных чисел, и $F(a) = F(b) = 0$ . Поскольку все корни $G(x)$ лежат на интервале $(a, b)$ , имеем $G(a) < 0$ , $G(b) > 0$ . С другой стороны, квадратный трёхчлен $F(x) - G(x)$ имеет два корня на этом интервале, поэтому значения $F(a) - G(a) = -G(a)$ и $F(b) - G(b) = -G(b)$ должны иметь одинаковый знак. Противоречие.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.