Відповідь: $f(x) = kx$, $k \in \mathbb{R}$ — довільне.

З вихідного рівняння дістаємо, що $f(y^3) = y f(y^2)$, $f(x^3) = x^2 f(x)$. А тому при всіх $x, y \in \mathbb{R}$
$$f(x^3 + y^3) = f(x^3) + f(y^3).$$
Отже, ми встановили, що функція $f$ є адитивною: при всіх $u, v \in \mathbb{R}$
$$f(u+v) = f(u) + f(v).$$
Далі, оскільки
$$f(0) = 0 \quad \text{і} \quad f(x^3) \equiv x^2 f(x) \equiv x f(x^2), \quad \text{то} \quad f(x^2) \equiv x f(x). \quad \text{Таким чином,}$$
$$f(x^2 + 2x + 1) \equiv (x+1) f(x+1) \equiv (x+1)(f(x) + f(1)).$$
З іншого боку,
$$f(x^2 + 2x + 1) \equiv x f(x) + 2 f(x) + f(1).$$
З цих співвідношень дістанемо, що $f(x) = f(1)x$, $x \in \mathbb{R}$. Залишається перевіркою переконатися, що всі функції вигляду $f(x) = kx$, $k \in \mathbb{R}$, задовольняють умову.