Ukrainian Mathematical Olympiad

a. Відповідь: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Дане рівняння можна записати у вигляді
$$x^2 + 2x + \frac{1}{x^2 + 2x} = 2(x + 1) - 1.$$
$$\frac{1}{x^2 + 2x} \left( (x^2 + 2x) - (x + 1) \right)^2 = 0.$$

b. Відповідь: $x = y = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
Маємо:
$$x^2 + 2x + y^2 + 2y + \frac{1}{x^2 + 2x} + \frac{1}{y^2 + 2y} = 2(x + 1) + 2(y + 1) - 2,$$
$$\frac{1}{x^2 + 2x} \left( (x^2 + 2x) - (x + 1) \right)^2 + \frac{1}{y^2 + 2y} \left( (y^2 + 2y) - (y + 1) \right)^2 = 0.$$
Отже, оскільки $x > 0$ і $y > 0$, то $x^2 + x - 1 = 0$ і $y^2 + y - 1 = 0$.