Если $r = 0$, то утверждение задачи, очевидно, истинно. Пусть $r > 0$. Пусть $a_1, \dots, a_n$ — данные числа; положим $P = a_1a_2 \dots a_n$, $P_i = P/a_i$ при $i = 1, 2, \dots, n$. Заметим, что $a_i > r$, ибо число $P_i$ даёт остаток $r$ при делении на $a_i$.

Рассмотрим число $S = P_1 + P_2 + \dots + P_n - r$. Заметим, что $S = (P_1-r) + (P_2+P_3+\dots+P_n) = a_1$, поскольку оба слагаемых делятся на $a_1$. Аналогично, $S : a_i$ при всех $i = 1, \dots, n$; поскольку $a_i$ попарно взаимно просты, получаем $S : a_1 \dots a_n = P$. Поскольку $S > a_1 - r > 0$, получаем, что $S \ge P$, а тогда $P_1 + \dots + P_n = S + r > P$. Значит, при некотором $i$ верно неравенство $P_i > P/n$, откуда $a_i < n$, или $a_i \le n - 1$. Но тогда $r < a_i \le n - 1$, то есть $r \le n - 2$.