Russian Mathematical Olympiad

Since $S^2 + C^2 = 2 + 2 \cos x \in \mathbb{Q}$, we have $\cos x \in \mathbb{Q}$ and hence $\cos 64x \in \mathbb{Q}$.

Заметим, что число
$$\begin{aligned} S^2 + C^2 &= (\sin^2 64x + \cos^2 64x) + (\sin^2 65x + \cos^2 65x) + \\ &\quad + 2(\sin 64x \sin 65x + \cos 64x \cos 65x) = \\ &= 2 + 2 \cos(65x - 64x) = 2 + 2 \cos x \end{aligned}$$
рационально, сткуда $\cos x$ — также рациональное число. Ввиду формулы $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$, все числа вида $\cos 2^k x$ также рациональны — в частности, $\cos 64x$. Поскольку $C$ рационально, то и второе слагаемое в этой сумме также рационально.