Russian Mathematical Olympiad

Так как $\sin t \le t$ при $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$, то имеем

$x \cos x = x \sin (\frac{\pi}{2} - x) \le x (\frac{\pi}{2} - x) = \frac{\pi^2}{16} - (x - \frac{\pi}{4})^2 \le \frac{\pi^2}{16}$,
что и требовалось.

Второе решение. Перепишем доказываемое неравенство в виде $\sqrt{x \cos x} \le \frac{\pi}{4}$. По неравенству о средних имеем $\sqrt{x \cos x} \le \frac{x + \cos x}{2}$. В правой части стоит неубывающая функция (так как $(x + \cos x)' = 1 - \sin x \ge 0$); значит, $x + \cos x \le \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$, откуда и следует требуемое.