Заметим, что разность между любыми двумя числами вида $a+i$ ($i = 1, \ldots, n$) не превосходит $n-1$.
Пусть кратное числу $n^2 + i$, содержащееся среди наших чисел — это $a_i(n^2 + i)$. Ясно, что $a_1 > 1$. Тогда найдется такое $1 \le i \le n-1$, что $a_i > a_{i+1}$ (в противном случае $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$, и $a_n(n^2 + n) - a_1(n^2 + 1) \ge a_1(n-1) > n-1$, что невозможно). Тогда
$$n-1 \ge a_i(n^2+i) - a_{i+1}(n^2+i+1) \ge \\ \ge a_i(n^2+i) - (a_i-1)(n^2+i+1) = n^2+i+1 - a_i, \\ \text{то есть } a_i \ge n^2-n+i+2 > n^2-n. \text{ Теперь, так как одно из} \\ \text{наших чисел есть } a_i(n^2+i) > (n^2-n)(n^2+1) = n^4-n^3+n^2-n, \\ \text{то } a \ge a_i(n^2+i) - n > n^4-n^3+n^2-2n \ge n^4-n^3, \text{ так как } n \ge 2.$$