Russian Mathematical Olympiad

Ответ. $0$.

Так как $g(x) = (f(x))^3 - f(x) = f(x)(f(x) - 1)(f(x) + 1)$,
то корнями многочлена $g(x)$ являются корни трехчленов $f(x)$,
$f(x) - 1$ и $f(x) + 1$. Ясно, что любое число может быть корнем
только одного из них.

Пусть $y_0$ — искомая ордината вершины. Предположим, что
$y_0 \neq 0$. Будем считать, что старший коэффициент в $f(x)$ положителен (иначе заменим $f(x)$ на $-f(x)$, при этом $y_0$ заменится
на $-y_0$). Предположим, что $y_0 > 0$; тогда $f(x) > 0$ и $f(x) + 1 > 0$ при всех $x$, значит, корни многочлена $g(x)$ являются корнями $f(x) - 1$, а их не больше двух. Если же $y_0 < 0$, то трехчлены $f(x)$ и $f(x) - 1$ имеют по два корня, значит, $g(x)$ имеет хотя бы $4$ корня. Оба случая невозможны; значит, $y_0 = 0$.