Обозначим проведённые прямые $l_1, l_2, \dots, l_n$, упорядочив их направления по часовой стрелке (см. рис. 10). Формально это означает следующее. Рассмотрим произвольную точку плёскости $O$. Проведем через неё прямые, параллельные нашим, заумеруем их по часовой стрелке, а потом присвоим нашим прямым те же номера, которые получили соответствующие им новые прямые.

Среди областей, на которые наши прямые разрезали плоскость, есть $2n$ бесконечных кусков; обозначим их по часовой стрелке $S_1, S_2, \dots, S_{2n}$ так, что прямая $l_i$ разделяет куски $S_i$ и $S_{i+1}$, а также куски $S_{i+n}$ и $S_{i+n+1}$. (Здесь и далее мы считаем, что $S_{2n+1} = S_1$.)

Для начала въс все области (конечные и бесконечные) поставим по $1$. Для каждой прямой $l_i$ обозначим через $\Sigma_i$ возможность сумм чисел справа и слева от $l_i$ (мы считаем, что куски $S_i$ и $S_{i+n+1}$ лежат слева от $l_i$). Если $\Sigma_i > 0$, то прибавим по $\frac{1}{2} \Sigma_i$ к числам, стоящим в $S_i$ и $S_{i+1+n}$. При этом все числа $\Sigma_j$ при $j \neq i$ не изменились, поскольку области $S_i$ и $S_{i+1+n}$ лежат по разные стороны относительно любой прямой, кроме $l_i$. Число же $\Sigma_i$ стало равно нулю. Аналогично, если $\Sigma_i < 0$, то прибавим по $\frac{1}{2} |\Sigma_i|$ к числам, стоящим в $S_{i+1}$ и $S_{i+n}$; опять же, $\Sigma_i$ станет равна $0$, а остальные $\Sigma_j$ не изменятся.

Такими операциями мы последовательно сделаем каждое $\Sigma_i$ равным нулю, не меняя остальных.