Competition problem — Geometry — Maths Olympiad Prep

Library / /28 of 44

Geometry Difficulty 6.2 National olympiad Prove it Russia

Let $AD$ , $BE$ and $CF$ be the angle bisectors in a triangle $ABC$ , and let $I$ be their intersection point. The perpendicular bisector of segment $AD$ intersects lines $BE$ and $CF$ at points $M$ and $N$ , respectively. Prove that the points $A$ , $I$ , $M$ , and $N$ are concyclic. (D. Prokopenko)

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AD, BE$ и $CF$ , пересекающиеся в точке $I$ . Серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пересекает прямые $BE$ и $CF$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что точки $A, I, M$ и $N$ лежат на одной окружности. (Д. Прокопенко)

Solution

Для решения задачи достаточно установить, что $\angle MAI = \angle MNI$ (см. рис. 5).

Пусть $K$ — середина отрезка $AD$ . Заметим, что $\angle MNI = \angle KNI = 90^\circ - \angle KIN = 90^\circ - (\angle ACI + \angle CAI) = \frac{1}{2}(180^\circ - (\angle ACB + \angle BAC)) = \frac{1}{2}\angle ABC$ .

Остаётся установить, что $\angle MAI = \frac{1}{2} \angle ABC$ . Пусть $M'$ — точка пересечения окружности, описанной около треугольника $ABD$ , с серединным перпендикуляром к отрезку $AD$ (точка $M'$ лежит на дуге $\text{AD}$ , не содержащей точку $B$ ). Тогда $AM' = DM'$ , а значит, и $\angle M'BD = \angle M'BA$ , как опирающиеся на равные дуги. Это означает, что точка $M'$ лежит на биссектрисе угла $ABC$ и, следовательно, $M'$ совпадает с $M$ .

Итак, точки $A, M, D$ и $B$ лежат на одной окружности, откуда $\angle MAI = \angle MBD = \frac{1}{2} \angle ABC$ , что и требовалось.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.