Competition problem — Number theory

Library / /14 of 57

Number theory Difficulty 6.1 National olympiad Prove it Russia

Peter chose 10 consecutive positive integers. He wrote down each of the chosen numbers either in red or in blue (both colors are present). Is it possible that the sum of the l.c.m. of the red numbers and the l.c.m. of the blue numbers has a decimal representation ending up with 2016? (O. Dmitriev, R. Zhenodarov)

Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016?
(О. Дмитриев, Р. Женодаров)

Solutions — 2

Solution 1

No.

Among Peter's numbers, either there is exactly one number divisible by $8$ (then the sum of the l.c.m.'s is not divisible by $8$ ), or there are exactly two numbers divisible by $8$ (then exactly one of them is divisible by $16$ , and the sum is not divisible by $16$ ). In any case, $16$ does not divide the sum, so it cannot end up with $2016$ .

Solution 2

Нет, не может.

Среди десяти петиных чисел есть либо одно, либо два числа, делящихся на $8$ . В первом случае одно из полученных наименьших общих кратных (НОК) делится на $8$ , а второе — нет, и потому их сумма не делится даже на $8$ . Во втором же случае разность двух петиных чисел, делящихся на $8$ , равна $8$ , поэтому одно из них делится на $16$ , а другое — нет. Следовательно, одно из НОК делится на $16$ , а другое — нет. Значит, и в этом случае сумма НОК делиться на $16$ не может.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.