No, such a triangle does not exist.

Let us consider the expression:
$$(x + y)(x + z)(y + z) = x^2(y + z) + y^2(x + z) + z^2(x + y) + 2xyz$$
By the triangle inequality, $x, y, z$ are positive and the sum of any two is greater than the third. Therefore,
$$x^2(y + z) + y^2(x + z) + z^2(x + y) + 2xyz > x^3 + y^3 + z^3$$
since $x^2(y + z) > x^3$, $y^2(x + z) > y^3$, $z^2(x + y) > z^3$, and $2xyz > 0$.

Thus, $(x+y)(x+z)(y+z) > x^3 + y^3 + z^3$ for any positive $x, y, z$ satisfying the triangle inequalities. Therefore, there does not exist a triangle with such side lengths.

Solution:

Нет, не существует такого треугольника.

Первое решение. Пусть такой треугольник существует. Можно считать, что $x \ge y \ge z$. Тогда по неравенству треугольника $y+z > x$, откуда
$$(x+y)(x+z)(y+z) > (x+y)(x+z)x = x^3 + x^2y + x^2z + xyz > x^3 + x^2y + x^2z \ge x^3 + y^3 + z^3.$$

Второе решение. Пусть такой треугольник существует. Отметим точки касания его сторон с вписанной окружностью. Пусть отрезки касательных от вершин до этих точек касания равны $a, b$ и $c$, тогда $x = b+c$, $y = a+c$, $z = a+b$. Имеем
$$(x+y)(y+z)(z+x) = (a+2b+c)(a+b+2c)(2a+b+c) = 2(a^3+b^3+c^3)+7(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)+16abc$$
и
$$\begin{aligned} x^3+y^3+z^3 &= (a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 \\ &= 2(a^3+b^3+c^3)+3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2). \end{aligned}$$

Значит, разность $(x+y)(y+z)(z+x) - x^3 - y^3 - z^3$ после подстановки и приведения подобных слагаемых приобретает вид $4(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)+16abc$, что, очевидно, больше 0. Противоречие.

Замечание. Существуют три положительных числа $x, y, z$ такие, что равенство из условия выполнено — например, $1, 1, 1+\sqrt{5}$. Таким образом, условие, что $x, y, z$ являются длинами сторон треугольника, существенно.