Solution. (Solution of Yousif Bakheet, IMO 2025's team member)

SAUDI ARABIAN IMO Booklet 2025
---
## Saudi Booklet 2025 — Page 49
Solution of IMO Team selection tests
$$\therefore \text{يوجد و يحقق التساوي } f(x+\frac{1}{x}) \ge f(x) \text{ ($x \ge 0$)} \\ \text{لما } x > 0 \text{ نريد } \therefore \text{ أن } f(x) \ge 0$$
$$\therefore \text{如果 } \left( \frac{1-f(x)}{x} \right)^{\frac{1}{1-f(x)}} \le \frac{1}{4} \text{ と } \left( \frac{1-f(x)}{x} \right)^{\frac{1}{1-f(x)}} > \frac{1}{4} \\ \text{那么 } f(x) \ge \frac{1+\sqrt{1-4x(1-f(x))}}{\left(\frac{1-f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{1-f(x)}}} \text{ と } \therefore \text{ يحقق التساوي } f(x) \ge 0$$
$$\text{لما } \left( \frac{1-f(x)}{x} \right)^{\frac{1}{1-f(x)}} \le \frac{1}{4} \text{ と } \left( \frac{1-f(x)}{x} \right)^{\frac{1}{1-f(x)}} = \frac{1}{4} \text{ と } \text{يحقق التساوي } f(x) = 0 \text{ (لما نحقق قسمة f(x) في x)}$$
$$\text{لما } \left( \frac{1-f(x)}{x} \right)^{\frac{1}{1-f(x)}} > \frac{1}{4} \text{ と } \left( \frac{1-f(x)}{x} \right)^{\frac{1}{1-f(x)}} \le \frac{1}{4} \text{ と } \text{يحقق قسمة } f(x) \text{ في x} \text{، و نستنتج أن } C > 0 \text{ يحقق}$$

الآن ليكن $C > 0$، لربما
$$f(x) = f(x+\frac{1}{x}) \text{ يحقق قسمة f(x) في x} \text{، و يحقق قسمة } f(x) = C \text{ في x}$$
نستعمل جدراً
ليكن
$$\text{إنما لو } f(x) = 1 \text{ فن ن查閱 } \left( \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{1-x}} \le f(x) \text{ يحقق قسمة } f(x) = 1 \text{ بالعواملة}$$
وما يrest في إيجاد العواملة و كن لك في باقي المات
$$\text{لما لو } f(x) = 1 \text{ نريد } \left( \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{1-x}} \le \frac{1}{4} \text{ と } \left( \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{1-x}} = \frac{1}{4} \text{ يحقق قسمة } f(x) = 0 \text{ (لما نحقق قسمة } f(x) = 1 \text{ في x)}$$
$$\text{لما مرتب على قسمات } \left( \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{1-x}} \le \frac{1}{4} \text{ と } \left( \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{1-x}} = \frac{1}{4} \text{ يحقق قسمة } f(x) = 0 \text{ (لما نحقق قسمة } f(x) = 1 \text{ في x)}$$
$$\text{لما لو } f(x) = 1 \text{ نريد } \left( \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{1-x}} \le \frac{1}{4} \text{ と } \left( \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{1-x}} = \frac{1}{4} \text{ يحقق قسمة } f(x) = 0 \text{ (لما نحقق قسمة } f(x) = 1 \text{ في x)}$$
$$\text{و ما مرتب على قسمات } \left( \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{1-x}} \ge \frac{1}{4} \text{ と } \left( \frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{1-x}} = \frac{1}{4} \text{ يحقق قسمة } f(x) = 0 \text{ (لما نحقق قسمة } f(x) = 1 \text{ في x)}$$
$$\text{لما نستنتج أن } C > 0 \text{ يحقق قسمة } f(x) = C \text{ (لما نحقق قسمة } f(x) = 0 \text{ في x)} \\ \text{لما نستنتج أن } C < 0 \text{ يحقق قسمة } f(x) = C \text{ (لما نحقق قسمة } f(x) = 0 \text{ في x)}$$