Yes.

Notice that $2017 = 43 \cdot 46 + 39$. One example of Pasha's numbers consists of 39 twos, 46 numbers equal to 44, and ones as the remaining numbers.

To achieve the goal in 43 moves, Pasha chooses 39 boxes in which he always puts 2 stones—after 43 moves, each of these will contain $43 \cdot 2 = 86$ stones. The remaining boxes are divided into 43 groups of 46 boxes each; on the $i$-th move, he puts 44 stones into all boxes of the $i$-th group and 1 stone into the others—in each group, there will be $44 + 42 \cdot 1 = 86$ stones, so all boxes will have the same number of stones.

It remains to prove that the goal cannot be achieved in fewer moves. Suppose Pasha made $k < 43$ moves. Then in some box $A$, 44 stones were placed in one move, so it will have at least $44 + (k-1) \cdot 1 = 43 + k$ stones. On the other hand, since $46k < 2017$, there is some box $B$ that never received 44 stones, so it will have at most $2k$ stones. Since $k < 43$, we have $2k < k + 43$, so box $B$ has fewer stones than box $A$. Thus, Pasha has not yet achieved the goal.

Remark. The example given is not unique. For example, a set consisting of 42 ones, $2017 - 43 = 1974$ numbers equal to $a > 1$, and one number equal to $43a - 42$ also works. There are even examples with all numbers pairwise distinct; however, checking that they work is somewhat more difficult than for the examples given above.

Да, мог.

Заметим, что $2017 = 43 \cdot 46 + 39$. Приведём пример Пашиных чисел, при которых требуемое выполняется. Пусть среди его чисел будут 39 двоек, 46 чисел, равных 44, а остальные — единицы.
Чтобы добиться требуемого за 43 хода, Паша выбирает 39 коробок, в которые он всегда кладёт по 2 камня — через 43 хода в них окажется по $43 \cdot 2 = 86$ камней. Остальные коробки он разбивает на 43 группы по 46 коробок; на $i$-м ходу он положит по 44 камня во все коробки $i$-й группы и по одному камню — в каждой группе будет по $44+42 \cdot 1 = 86$ камней, то есть во всех коробках будет поровну камней.

Осталось доказать, что за меньшее число ходов требуемое невыполнимо. Пусть Паша сделал $k < 43$ ходов. Тогда в какую-то коробку $A$ попало 44 камня на одном ходу, и в ней будет не меньше, чем $44 + (k-1) \cdot 1 = 43 + k$ камней. С другой стороны, поскольку $46k < 2017$, в какую-то коробку $B$ ни на одном из ходов не попадёт 44 камня, то есть в ней будет не больше $2k$ камней. Поскольку $k < 43$, имеем $2k < k + 43$, а значит, в коробке $B$ меньше камней, чем в $A$. Таким образом, Паша ещё не добился требуемого.

Замечание. Приведённый пример — не единственный. Например, подойдёт также набор чисел, состоящий из 42 единиц, $2017 - 43 = 1974$ чисел, равных $a > 1$, и одного числа, равного $43a - 42$. Существуют даже примеры с попарно различными числами; однако проверка того, что они подходят, несколько труднее, чем для примеров, приведённых выше.