Первое решение. Подставляя $x = 1234$ в оба трёхчлена и приравнивая их, получаем $1234^2 \cdot b + 1234 \cdot c + a = 1234^2 \cdot c + 1234 \cdot a + b$, или, после переноса всех членов в левую часть, $(1234^2-1)b+(1234-1234^2)c+(1-1234)a = 0$. Разделив последнее равенство на 1233, имеем $1235b - 1234c - a = 0$, то есть $a = 1235b - 1234c$. Тогда значение первого трёхчлена в точке 1 равно $a+b+c = 1236b - 1233c = 3(412b - 411c)$, то есть делится на 3; значит, оно не может равняться 2009.

Второе решение. Рассмотрим многочлен $P(x) = (b-c)x^2 + (c-a)x + (a-b)$ — его степень не больше 2. По условию, $P(1234) = 0$; кроме того, очевидно, $P(1) = 0$. Значит, если его степень равна 2, то по теореме Безу $P(x) = (b-c)(x-1)(x-1234)$. Если же степень меньше 2, то он может быть только нулевым (поскольку у него есть два корня); тогда $a = b = c$, и всё равно верно равенство $P(x) = (b-c)(x-1)(x-1234)$. Приравнивая свободные члены в равенстве
$$P(x) = (b-c)x^2 + (c-a)x + (a-b) = (b-c)(x-1)(x-1234), \\ \text{получаем } a-b = 1234(b-c), \text{ откуда } a = 1235b - 1234c. \text{ Дальше} \\ \text{решение можно завершить так же, как и предыдущее.}$$