Доведемо допоміжну нерівність
$$\frac{1}{1+a+b} \le 1 - \frac{a+b}{2} + \frac{ab}{3}.$$
Ця нерівність рівносильна таким нерівностям:
$$6 \le (1+a+b)(6-3(a+b)+2ab),$$
$$6 \le 6 + 6(a+b) - 3(a+b) - 3(a+b)^2 + 2ab + 2ab(a+b),$$
$$2a^2b + 2ab^2 - 3a^2 - 3b^2 - 4ab + 3a + 3b \ge 0,$$
$$2a(a-1)(b-1) + 2b(a-1)(b-1) + a(1-a) + b(1-b) \ge 0.$$
Остання нерівність є правильною, бо $a, b \in [0, 1]$.

Додаючи цю та ще дві аналогічні нерівності, дістанемо, що
$$\frac{1}{1+a+b} + \frac{1}{1+b+c} + \frac{1}{1+c+a} \le 3 - (a+b+c) + \frac{1}{3}(ab+bc+ca),$$
звідки й випливає потрібна нерівність.