A square is divided into parts of sizes , , (not necessarily all these sizes must be present). Prove that there is a row of the initial square intersecting an odd number of these parts.
Ukrainian Mathematical Olympiad
Solution
Оскільки рядок початкового квадрата містить непарну кількість клітинок, він буде перетинати непарну кількість частин та . Якщо твердження задачі неправильне, то кожен рядок має перетинати непарну кількість частин , тобто одну. Відтак, один квадрат буде лежати в перших чотирьох рядках, один — у чотирьох наступних, і ми не зможемо «вмістити» потрібний квадрат у три нижні рядки.
Want a route through all this instead of an archive? The track
puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.