Competition problem — Algebra — Maths Olympiad Prep

Library / /5 of 26

Algebra Difficulty 5.9 AIME, harder Prove it Russia

Determine if there exist non-zero real numbers $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ such that
$\left(a_1 + \frac{1}{a_1}\right) \cdots \left(a_{10} + \frac{1}{a_{10}}\right) = \left(a_1 - \frac{1}{a_1}\right) \cdots \left(a_{10} - \frac{1}{a_{10}}\right).$

Существуют ли такие ненулевые действительные числа $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ , что
$\left(a_1 + \frac{1}{a_1}\right) \cdots \left(a_{10} + \frac{1}{a_{10}}\right) = \left(a_1 - \frac{1}{a_1}\right) \cdots \left(a_{10} - \frac{1}{a_{10}}\right)?$

Solution

Рассмотрим произвольные ненулевые числа $a_1, \ldots, a_{10}$ . Заметим, что числа $a_k$ и $\frac{1}{a_k}$ имеют одинаковый знак. Значит,
$\left| a_k + \frac{1}{a_k} \right| = \left| a_k \right| + \frac{1}{\left| a_k \right|} > \max \left( \left| a_k \right|, \frac{1}{\left| a_k \right|} \right) \ge \left| a_k - \frac{1}{a_k} \right| \ge 0.$
Перемножая эти неравенства, получаем, что
$\left| a_1 + \frac{1}{a_1} \right| \cdots \left| a_{10} + \frac{1}{a_{10}} \right| > \left| a_1 - \frac{1}{a_1} \right| \cdots \left| a_{10} - \frac{1}{a_{10}} \right|,$
то есть требуемое равенство невозможно.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.