Возьмём произвольную точку $M$ плоскости и докажем, что $f(M) = 0$. Для этого рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, для которого точка $M$ является точкой пересечения медиан. Обозначим через $D$, $E$ и $F$ точки пересечения медиан треугольников $BCM$, $CAM$ и $ABM$, соответственно (см. рис. 17).

Заметим, что точка $M$ также является точкой пересечения медиан треугольника $DEF$. В самом деле, обозначим через $A'$, $B'$ и $C'$ середины отрезков $BC$, $CA$ и $AB$, соответственно. Тогда треугольник $DEF$ получается из треугольника $ABC$ гомотетией в точке $M$ с коэффициентом $-\frac{1}{3}$, поскольку при гомотетии с коэффициентом $-\frac{1}{2}$ треугольник $ABC$ переходит в $A'B'C'$, а при последующей гомотетии с коэффициентом $\frac{2}{3}$ — в треугольник $DEF$.

Рис. 17

Но тогда справедлива следующая цепочка равенств:
$$\begin{align*} f(M) &= f(D) + f(E) + f(F) = (f(M) + f(B) + f(C)) + \\ &\qquad + (f(M) + f(C) + f(A)) + (f(M) + f(A) + f(B)) = \\ &= 2(f(A) + f(B) + f(C)) + 3f(M) = 5f(M), \end{align*}$$
из чего следует, что $f(M) = 0$, что и требовалось доказать.