Докажем вначале следующее утверждение.
Лемма. Для любых двух клеток $A$ и $B$ существует такая клетка $C$, закрасив которую, можно затем закрасить и $A$, и $B$ (возможно, $C$ совпадает с $A$ или с $B$.)

Доказательство. Можно считать, что номер $a$ клетки $A$ меньше, чем номер $b$ клетки $B$. Пусть $D$ — клетка в одном столбце с $A$ и в одной строке с $B$, и пусть $d$ — её номер (возможно, $D = A$ или $D = B$). Тогда, если $d < a$, то после закрашивания $A$ можно последовательно закрасить $D$ и $B$; если $a \le d \le b$, то после закрашивания $D$ можно закрасить как $A$, так и $B$; наконец, если $d > b$, то после закрашивания $B$ можно последовательно закрасить $D$ и $A$. Итак, в любом случае в качестве $C$ можно выбрать одну из клеток $A, B$ и $D$. Лемма доказана. $\square$

Перейдём к решению задачи. Ясно, что $k \ge 1$; значит, достаточно доказать, что при $k = 1$ закраска всегда возможна.

Зафиксируем произвольную нумерацию клеток. Рассмотрим все способы закрашивания клеток согласно условию (при $k = 1$) и выберем из них тот, в котором количество закрашенных клеток максимально. Пусть в этом способе первая закрашенная клетка — $A$. Предположим, что при этом способе какая-то клетка $B$ осталась незакрашенной. Тогда, выбрав по Лемме соответствующую клетку $C$ и начав закрашивание с неё, мы потом сможем закрасить $B$, $A$, и, как следствие, все клетки, закрашенные в выбранном способе. Значит, всего мы закрасим хотя бы на одну клетку больше. Противоречие с выбором способа показывает, что на самом деле в нашем способе будут закрашены все клетки. Это и означает, что $k = 1$ подходит.