Library / Russian Mathematical Olympiad /116 of 141

Russian Mathematical Olympiad

Algebra Difficulty 7.1 National Olympiad, round 2 Prove it Russia

10 distinct real numbers are given. For each pair $a, b$ of given numbers, Basil writes down into his exercise book the number $(a-b)^2$ , while Pete writes down into his exercise book the number $|a^2 - b^2|$ . Determine whether it may appear that Basil and Pete obtain the same collections of 45 numbers in their exercise books.
(S. Berlov)

Даны 10 попарно различных чисел. Для каждой пары данных чисел Вася записал у себя в тетради квадрат их разности, а Петя записал у себя в тетради модуль разности их квадратов. Могли ли в тетрадях у мальчиков получиться одинаковые наборы из 45 чисел? (С. Берлов)

Solution

Не могли.

Предположим противное. Если среди исходных чисел есть ноль, то для любого другого числа $a$ имеем $a^2 - 0^2 = (a - 0)^2$ . Значит, если вычеркнуть ноль, то останутся 9 чисел, также удовлетворяющих условию.

Итак, можно считать, что исходных чисел 9 или 10, и все они ненулевые. Пусть среди них есть числа разных знаков; рассмотрим минимальное и максимальное из них — обозначим их $a < 0 < b$ . Тогда у Васи присутствует число $(b - a)^2$ , которое больше как $a^2$ , так и $b^2$ ; у Пети же любое число не превосходит $\max(a^2, b^2)$ . Противоречие.

Значит, все исходные числа — одного знака; заменив, если надо, все числа на противоположные, можно считать, что все они положительны. Опять обозначив через $a$ и $b$ соответственно минимальное и максимальное из этих чисел, имеем $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) > (a - b)^2 \ge (c - d)^2$ , где $c$ и $d$ — произвольные два исходных числа. Тогда число $b^2 - a^2$ не встретится на листке у Пети, но встретится у Васи — противоречие.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.