Не могли.

Предположим противное. Если среди исходных чисел есть ноль, то для любого другого числа $a$ имеем $a^2 - 0^2 = (a - 0)^2$. Значит, если вычеркнуть ноль, то останутся 9 чисел, также удовлетворяющих условию.

Итак, можно считать, что исходных чисел 9 или 10, и все они ненулевые. Пусть среди них есть числа разных знаков; рассмотрим минимальное и максимальное из них — обозначим их $a < 0 < b$. Тогда у Васи присутствует число $(b - a)^2$, которое больше как $a^2$, так и $b^2$; у Пети же любое число не превосходит $\max(a^2, b^2)$. Противоречие.

Значит, все исходные числа — одного знака; заменив, если надо, все числа на противоположные, можно считать, что все они положительны. Опять обозначив через $a$ и $b$ соответственно минимальное и максимальное из этих чисел, имеем $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) > (a - b)^2 \ge (c - d)^2$, где $c$ и $d$ — произвольные два исходных числа. Тогда число $b^2 - a^2$ не встретится на листке у Пети, но встретится у Васи — противоречие.