Відповідь: $x = y = z = \sqrt{2}$. Із системи випливає, що
$$\sqrt{x - \frac{1}{y}} + \sqrt{y - \frac{1}{z}} + \sqrt{z - \frac{1}{x}} = \frac{1}{2} \sqrt{x + y + z} \cdot \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.$$
Звідси за нерівністю Коші-Буняковського маємо:
$$\sqrt{x - \frac{1}{y}} + \sqrt{y - \frac{1}{z}} + \sqrt{z - \frac{1}{x}} \ge \frac{1}{2}(x\sqrt{y} + y\sqrt{z} + z\sqrt{x}), \\ \left(x\sqrt{y} - 2\sqrt{x - \frac{1}{y}}\right) + \left(y\sqrt{z} - 2\sqrt{y - \frac{1}{z}}\right) + \left(z\sqrt{x} - 2\sqrt{z - \frac{1}{x}}\right) \le 0, \\ \frac{\left(\sqrt{xy} - 1\right)^2}{\sqrt{y}} + \frac{\left(\sqrt{yz} - 1\right)^2}{\sqrt{z}} + \frac{\left(\sqrt{zx} - 1\right)^2}{\sqrt{x}} \le 0.$$

Отже, з необхідністю $xy = yz = zx = 2$. Заливається переконатися, що трійка $x = y = z = \sqrt{2}$ задовольняє умову задачі.