Maths Olympiad Prep

Library / /43 of 61

Number theory Difficulty 6.1 National olympiad Prove it Ukraine

Let S(a)S(a) denote the sum of decimal digits of a positive integer aa. Positive integer nn is such that S(n)=406S(n) = 406, S(2012n)=2012S(2012n) = 2012. Find all possible values of S(2011n)S(2011n).

Solution

Зауважимо, 2012n2012n є сумою двох чисел 1000n1000n, одного числа 10n10n та двох чисел nn. Якщо не відбувається перенесень у наступний розряд під час додавання цих чисел в стовпчик, то сума цифр утвореного числа буде в 5 разів більшою за суму цифр числа nn. Під час перенесення однієї одиниці в старший розряд сума цифр зменшується на 9. Оскільки 2012=5406292012 = 5 \cdot 406 - 2 \cdot 9, то в старший розряд (або в старші розряди) було перенесено двійку (або, відповідно, дві одиниці).

Аналогічно, під час додавання двох чисел 1000n1000n, одного числа 10n10n та одного числа nn (тобто під час множення nn на 20112011) в старші розряди або було перенесено дві одиниці чи двійку, або одну одиницю, або нічого. Відповідно, сума цифр числа 2011n2011n становитиме 1606=4406291606 = 4 \cdot 406 - 2 \cdot 9, 1615=440691615 = 4 \cdot 406 - 9 або 1624=44061624 = 4 \cdot 406. Покажемо, що всі ці значення можуть досягатися.

Візьмемо Ak=40004000...40002011nA_k = \frac{40004000...4000}{2011n} (у записі kk разів повторюються цифри 40004000). Тоді сума цифр кожного з чисел n0=A100+420n_0 = A_{100} + 420, n1=10A100+1050n_1 = 10A_{100} + 1050, n2=10A99+2323n_2 = 10A_{99} + 2323 становить 406406, сума цифр кожного з чисел 2012n02012n_0, 2012n12012n_1, 2012n22012n_2 становить 20122012, а суми цифр чисел 2011n02011n_0, 2011n12011n_1 та 2011n22011n_2 дорівнюють, відповідно, 16241624, 16151615 та 16091609.

Відповідь: 16091609, 16151615, 16241624.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,000 problems in a working order, from AMC 10 level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement and solution reproduced as published; topic and difficulty added by this site.