Library / Ukrainian Mathematical Olympiad, Final Round /9 of 16

Ukrainian Mathematical Olympiad, Final Round

Combinatorics Difficulty 5.3 AIME, harder Prove it Ukraine

Mykolka the numismatist possesses 241 coins of total amount 360 tugriks (value of each coin is a positive integer quantity of tugriks). May it be claimed for sure that all those coins can be divided into three heaps of equal amount?

Solution

Розіб’ємо коло на 360 рівних частин, і 241 з 360 точок поділу відмітимо червоним кольором так, щоб 241 дуга з червоними кінцями відповідала — за довжиною — вартостям монет. Усі 360 точок поділу на колі позначимо по порядку таким чином: $A_1, A_2, ..., A_{120}, B_1, B_2, ..., B_{120}, C_1, C_2, ..., C_{120}$ . За принципом Діріхле, знайдеться такий номер $k$ , що три точки $A_k, B_k, C_k$ будуть пофарбованими червоним кольором. Вони і будуть визначати розбиття монет на три однакові за вартістю купки.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.