Library / Russia — Regional Round /10 of 34

Russia — Regional Round

Geometry Difficulty 5.4 AIME, harder Prove it Russia

Points $A$ , $B$ , $C$ lie on a circle. Line $PB$ touches this circle at point $B$ . Drop the perpendiculars $PA_1$ and $PC_1$ from $P$ onto the lines $AB$ and $BC$ , respectively (points $A_1$ and $C_1$ belong to segments $AB$ and $BC$ , respectively). Prove that $A_1C_1 \perp AC$ .

Пусть точки $A$ , $B$ , $C$ лежат на окружности, а прямая $b$ касается этой окружности в точке $B$ . Из точки $P$ , лежащей на прямой $b$ , опущены перпендикуляры $PA_1$ и $PC_1$ на прямые $AB$ и $BC$ соответственно (точки $A_1$ и $C_1$ лежат на отрезках $AB$ и $BC$ ). Докажите, что $A_1C_1 \perp AC$ . (Л. Емельянов)

Solution

Поскольку $\angle PC_1B = \angle PA_1B = 90^\circ$ , четырёхугольник $PA_1C_1B$ вписан (см. рис. 4).

Значит, $\angle CC_1A_1 = 180^\circ - \angle A_1C_1B = \angle A_1PB = 90^\circ - \angle A_1BP$ .

С другой стороны, $\angle A_1BP = \angle ACB = \frac{1}{2} AB$ .

Поэтому $\angle CC_1A_1 = \angle A_1PB = 90^\circ - \angle ACC_1$ , то есть прямые $A_1C_1$ и $AC$ пересекаются под прямым углом.

Want a route through all this instead of an archive? The track puts 2,604 problems in a working order, from Junior Challenge level to the IMO shortlist.

Source: MathNet, licensed CC-BY-4.0. Statement reproduced verbatim; metadata (topic, difficulty) added by this project.