Russia — Regional Round

Первое решение. Пусть $d$ — наибольшая сторона. Согласно условию, $a+b+c$ делится на $d$, то есть $a+b+c = k d$ для некоторого натурального $k$. Ясно, что $a+b+c > d$ (длина отрезка меньше длины ломаной с теми же концами), поэтому $k > 1$. Кроме того, так как $a \le d$, $b \le d$ и $c \le d$, имеем $a+b+c \le 3d$, то есть $k \le 3$.

Случай $k = 3$ возможен только при $a = b = c = d$. В этом случае наш четырёхугольник — ромб.

Иначе $1 < k < 3$, откуда $k = 2$. Но в этом случае имеем $N = a+b+c+d = 2d + d = 3d$. Таким образом получаем противоречие, поскольку $N$ не делится на 3.

Второе решение. Из условия следует, что каждое из чисел $a, b, c, d$ является делителем числа $N = a+b+c+d$. Значит, $a = N/t_a$, $b = N/t_b$, $c = N/t_c$, $d = N/t_d$ для некоторых натуральных $t_a > 1$, $t_b > 1$, $t_c > 1$, $t_d > 1$.

Заметим, что $t_a \ne 2$, иначе длина стороны $a$ равна полупериметру, что невозможно, поскольку $a < b+c+d$.

Поскольку $N$ не делится на 3, имеем $t_a \ne 3$, значит, $t_a \ge 4$ и $a \le N/4$. Аналогично, $b \le N/4$, $c \le N/4$, $d \le N/4$. Тогда равенство $N = a+b+c+d$ возможно только в случае $a = b = c = d = N/4$, т. е. в случае, когда наш четырёхугольник — ромб.