Ответ. Не существуют.

Первое решение. Предположим противное: пусть нашлись такие числа $a, b, c$. Заметим, что числа $a+b, b+c, c+a$ попарно взаимно просты. В самом деле, пусть, скажем, числа $a+b, b+c$ делятся на некоторое простое $p$. Поскольку $c^2: (a+b), a^2: (b+c)$, то числа $c$ и $a$ также делятся на $p$, а тогда и $b = (a+b) - a$ на него делится, что противоречит условию.

Далее, поскольку $a^2: (b+c)$, число $(a+b+c)^2 = a^2 + (b+c)(2a+b+c)$ делится на $b+c$. Аналогично, оно делится на $a+b$ и на $c+a$. Так как последние три числа попарно взаимно просты, $(a+b+c)^2$ делится на $(a+b)(a+c)(b+c)$; в частности, $(a+b+c)^2 \ge (a+b)(b+c)(c+a)$. С другой стороны, ясно, что все числа $a, b, c$ не меньше 2, значит,
$$(a+b)(b+c)(c+a) = (a^2b+b^2c+c^2a)+(ab^2+bc^2+ca^2)+2abc > (2a^2+2b^2+2c^2)+(2ab+2bc+2ca) > (a+b+c)^2.$$

Противоречие.

Второе решение. Как и в первом решении, заметим, что числа $a+b, b+c, c+a$ попарно взаимно просты. Пусть $a \ge b \ge c$. Заметим, что число $b^2+c^2-a^2 = (b+a)(b-a)+c^2$ делится на $b+a$; аналогично, оно делится на $c+a$. Значит, $b^2+c^2-a^2: (a+b)(a+c)$. С другой стороны,
$$-(a+b)(a+c) < -a^2 < b^2 + c^2 - a^2 \le a^2 < (a+b)(a+c).$$
Такое может случиться лишь при $b^2 + c^2 - a^2 = 0$, то есть при $a^2 = b^2 + c^2$.

Итак, $a^2 = b^2 + c^2: (b+c)$. Тогда число $2b^2 = (b^2+c^2)+(b-c)(b+c)$ также делится на $b+c$. Поскольку числа $b$ и $b+c$ взаимно просты, $2: (b+c)$, откуда $b=c=1$. Но тогда $1=c^2$ не может делиться на $a+b > 1$, противоречие.