Ответ. Не могут.

Пусть $n = 10^{1000}$. Обозначим исходные числа (в порядке обхода) через $a_1, \dots, a_n$; мы будем считать, что $a_{n+1} = a_1$. Положим $b_i = \text{НОК}(a_i, a_{i+1})$. Предположим что числа $b_1, \dots, b_n$ — это $n$ подряд идущих натуральных чисел.

Рассмотрим наибольшую степень двойки $2^m$, на которую делится хотя бы одно из чисел $a_i$. Заметим, что ни одно из чисел $b_1, \dots, b_n$ не делится на $2^{m+1}$. Пусть для определённости $a_1 \ge 2^m$; тогда $b_1 \ge 2^m$ и $b_n \ge 2^m$. Значит, $b_1 = 2^m x$ и $b_n = 2^m y$ при некоторых нечётных $x$ и $y$. Без ограничения общности можно считать, что $x < y$. Тогда,

поскольку $b_1, \dots, b_n$ образуют $n$ последовательных чисел, среди них должно быть и число $2^m(x+1)$ (поскольку $2^m x < 2^m(x+1) < 2^m y$). Но это число делится на $2^{m+1}$ (так как $x+1$ четно), что невозможно. Противоречие.