Enumerate the numbers in increasing order: $a_1 < a_2 < \dots < a_n$.

Suppose, for contradiction, that all the partial quotients $q_{i,j}$ (for $a_i > a_j$) are distinct.

Consider the sequence of ratios:
$$\frac{a_n}{a_{n-1}} \cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \cdots \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_n}{a_1}.$$

Each $a_i$ can be written as $a_i = q_i a_{i-1} + r_i$, where $0 \leq r_i < a_{i-1}$ and $q_i$ is the partial quotient of $a_i$ by $a_{i-1}$.

Therefore,
$$\frac{a_i}{a_{i-1}} = q_i + \frac{r_i}{a_{i-1}} < q_i + 1.$$

So,
$$\frac{a_n}{a_1} < (q_n + 1)(q_{n-1} + 1) \cdots (q_2 + 1).$$

But since all $q_i$ are distinct and positive, and $a_n < (n-1)!$, the product $(q_n + 1)(q_{n-1} + 1) \cdots (q_2 + 1)$ must be less than $(n-1)!$ for $n > 3$.

However, if all the partial quotients are distinct and positive, their product would be at least $(n-1)!$, which is impossible since $a_n < (n-1)!$.

Therefore, the notebook must contain two equal numbers.

Предположим противное. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — числа на доске в порядке возрастания. Пусть $q_i$ — неполное частное от деления $a_i$ на $a_{i-1}$, то есть $a_i = q_i a_{i-1} + r_i$, $0 \leq r_i < a_{i-1}$.

Тогда
$$\frac{a_n}{a_1} = \frac{a_n}{a_{n-1}} \cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \cdots \frac{a_2}{a_1}.$$

Поскольку $a_i < (n-1)!$, а все $q_i$ различны и положительны, произведение $q_n q_{n-1} \dots q_2$ не меньше $(n-1)!$. Но тогда $a_n \geq (n-1)!$, что невозможно, так как $a_n < (n-1)!$.

Значит, в тетради окажутся два одинаковых числа.